ມັນມີຄວາມແຕກຕ່າງກັນແນວໃດລະຫວ່າງເຄິ່ງບວກແລະມາຕຣິກເບື້ອງທີ່ແນ່ນອນບວກ?


ຕອບ 1:

ມີແນ່ນອນ (ba dum tss)!

ທຳ ອິດໃຫ້ ກຳ ນົດແນວຄວາມຄິດທັງສອງຢ່າງ:

ມາຕຣິກເບື້ອງ Hermitian

ACmxmA \in \mathbb{C}^{mxm}

ແມ່ນ semidefinite ໃນທາງບວກຖ້າ

x^{*}Ax\geq0\ \ \ \forall x\in \mathbb{C}^{m}\tag*{}

ບ່ອນທີ່

xx^{*}

ແມ່ນເສັ້ນທາງເຊື່ອມຕໍ່ຂອງ x.

ມາຕຣິກເບື້ອງ Hermitian

ACmxmA \in \mathbb{C}^{mxm}

ແມ່ນເຄິ່ງ ໜຶ່ງ ທີ່ ກຳ ນົດຖ້າ

x^{*}Ax > 0\ \ \ \ \forall x\in \mathbb{C}^{m}\ \ \ \ \operatorname{where}\ \ x \neq 0\tag*{}

ບ່ອນທີ່

xx^{*}

ແມ່ນເສັ້ນທາງເຊື່ອມຕໍ່ຂອງ x.

ໂອເຄ, ດັ່ງນັ້ນຄວາມແຕກຕ່າງພຽງແຕ່ເບິ່ງຄືວ່ານັ້ນ

\geq

ຕໍ່ຕ້ານ

>>

.

ຂໍໃຫ້ພວກເຮົາຄິດຢ່າງຈິງຈັງກ່ຽວກັບສິ່ງນີ້ ໝາຍ ຄວາມວ່າ:

ຕາຕະລາງທີ່ຖືກ ກຳ ນົດໃນທາງບວກແມ່ນການຂະຫຍາຍຕາຕະລາງທົ່ວໄປຂອງ ຈຳ ນວນບວກ. ຕາຕະລາງເຄິ່ງທີ່ແນ່ນອນໃນແງ່ບວກແມ່ນການຂະຫຍາຍຕາຕະລາງທົ່ວໄປຂອງ ຈຳ ນວນທີ່ບໍ່ລົບ.

ນີ້ ໝາຍ ຄວາມວ່າເມື່ອທ່ານຄູນວີຕາແກຣມໂດຍມາຕຣິກເບື້ອງສະເພາະໃນແງ່ບວກ, ແວ່ນແຍງຕົ້ນສະບັບແລະ vector ທີ່ສົ່ງຜົນໃຫ້ໄປໃນທິດທາງດຽວກັນ, ຫລືຊັດເຈນກວ່າ, ມຸມລະຫວ່າງສອງແມ່ນນ້ອຍກ່ວາຫລືເທົ່າກັນ

2π2\pi

.

ອີກປະການ ໜຶ່ງ ທີ່ ສຳ ຄັນ:

ສຳ ລັບຕາຕະລາງທີ່ແນ່ນອນດ້ານບວກ, ທັງ ໝົດ ຂອງ eigenvalues ​​ຂອງມັນແມ່ນໃນທາງບວກ. ສຳ ລັບຕາຕະລາງເຄິ່ງທີ່ແນ່ນອນໃນທາງບວກ, ທັງ ໝົດ ຂອງ eigenvalues ​​ຂອງມັນບໍ່ແມ່ນລົບ.

ໂອເຄ, ດຽວນີ້ພວກເຮົາມີຄວາມເຂົ້າໃຈບາງຢ່າງກ່ຽວກັບສອງແນວຄິດ, ມັນເບິ່ງຄືວ່າ ຄຳ ນິຍາມໃນທາງບວກແມ່ນພຽງແຕ່ຄວາມຕ້ອງການທີ່ເຂັ້ມງວດກ່ວາ semidefinite ໃນທາງບວກ. ພວກເຮົາສາມາດປະໂຫຍກນີ້ດີກ່ວານີ້ແລະໃນທີ່ສຸດກໍ່ຈະມີຄວາມແຕກຕ່າງລະຫວ່າງສອງ:

ຕາຕະລາງເຄິ່ງທີ່ແນ່ນອນໃນທາງບວກແມ່ນແນ່ນອນທີ່ແນ່ນອນຖ້າວ່າ eigenvalues ​​ທັງ ໝົດ ຂອງມັນບໍ່ແມ່ນສູນ, ໝາຍ ຄວາມວ່າຖ້າມັນບໍ່ແມ່ນ ຄຳ.