ຄວາມແຕກຕ່າງກັນແນວໃດ ສຳ ລັບຊັ້ນວາງລະຫວ່າງກວ້າງຂວາງ "ໂຄ້ງ" ແລະໂຄ້ງປົກກະຕິ?


ຕອບ 1:

Spacetime ແມ່ນພາກສະ ໜາມ vector ຂອງຊ່ອງແລະເວລາທີ່ສົມທົບກັນແລະກັນ. ໝາຍ ຄວາມວ່າແນວໃດ?

ພາກສະ ໜາມ ເວລາຫວ່າງແມ່ນໄດ້ຮັບອິດທິພົນຈາກມວນສານ (ຫຼືພະລັງງານ) ເປັນແຫລ່ງຂໍ້ມູນແລະ, ຄືກັບທຸກໆຂົງເຂດ, ມີລະດັບຄວາມເຂັ້ມ. ຖ້າພວກເຮົາເບິ່ງສ່ວນປະກອບຂອງພື້ນທີ່ແລະເວລາຂອງຄວາມເຂັ້ມຂົ້ນນີ້, ພວກເຮົາຈະເຫັນວ່າປະສົບການຂອງພື້ນທີ່ຂອງພວກເຮົາ (ຢູ່ໃນຄວາມໄວແນ່ນອນ) ມີການປ່ຽນແປງ, ໃນຂະນະທີ່ປະສົບການຂອງເວລາຂອງພວກເຮົາ (ໃນຄວາມໄວແນ່ນອນ) ປ່ຽນແປງ. ເຖິງຢ່າງໃດກໍ່ຕາມ, ຄຽງຄູ່ກັບຄວາມກວ້າງຂວາງ, ລະດັບຄວາມຮຸນແຮງນີ້ແມ່ນສົມບູນ (ເຊັ່ນດຽວກັນກັບທຸກໆຄົນ) ເພາະວ່າພື້ນທີ່ແລະເວລາແມ່ນສົມບູນ.

ດັ່ງນັ້ນສົມເຫດສົມຜົນທີ່ຈະສົມມຸດວ່າຊ່ອງທາງພາກສະ ໜາມ ໃນຊ່ວງເວລາຫວ່າງລະຫວ່າງຝູງໃຫຍ່ສາມາດຕັ້ງຊື່ໄດ້. ມັນແມ່ນສ່ວນປະກອບຂອງພື້ນທີ່ແລະເວລາທີ່ມີເສັ້ນໂຄ້ງ. ຖ້າທ່ານສາມາດເບິ່ງເຫັນແຜນວາດທີ່ໂປ່ງໃສ 3 ແຜ່ນຢູ່ດ້ານເທິງຂອງກັນແລະກັນ, ນີ້ອາດຈະເປັນຕົວແທນທີ່ດີກວ່າຂອງ "ຄວາມໂຄ້ງ" ທີ່ຖືກປຶກສາຫາລື.


ຕອບ 2:

"ເສັ້ນໂຄ້ງປົກກະຕິ" ແມ່ນວິທະຍາສາດ ... ມັນເປັນເສັ້ນໂຄ້ງໃນມິຕິທີ່ບໍ່ມີຢູ່ໃນວັດຖຸທີ່ໂຄ້ງ.

ເສັ້ນໂຄ້ງເວລາຫວ່າງຂອງພື້ນທີ່ແມ່ນ "ຄວາມສະຫຼາດ". ບໍ່ມີຂະ ໜາດ ອື່ນໃດທີ່ມັນສາມາດຖືກໂຄ້ງລົງ, ແລະທ່ານກໍ່ບໍ່ຕ້ອງການໃຫ້ມັນເຮັດວຽກໄດ້.

ຖ້າທ່ານຈິນຕະນາການກ່ຽວກັບໂລກ 2D, ຜູ້ທີ່ອາໃສຢູ່ໃນໂລກບໍ່ສາມາດເຫັນເສັ້ນໂຄ້ງພາຍນອກຂອງພື້ນຜິວ. ຍົກຕົວຢ່າງ, ໜ້າ ດິນຕົວຈິງສາມາດຖືກ ນຳ ເຂົ້າໄປໃນກະບອກສູບແລະມັນຍັງຄົງເບິ່ງຄືວ່າຮາບພຽງຢູ່ ສຳ ລັບສັດທີ່ຖືກກັກຂັງໃນສອງຂະ ໜາດ ນີ້. ທ່ານສາມາດເບິ່ງເສັ້ນໂຄ້ງຕົວຈິງໂດຍການເບິ່ງກົດລະບຽບເລຂາຄະນິດປ່ຽນແປງຈາກປາຍຫາຈຸດ. ທ່ານຈະເຫັນວ່າມັນໂຄ້ງລົງຖ້າຜົນລວມຂອງມຸມພາຍໃນຂອງສາມຫຼ່ຽມບໍ່ເພີ່ມສູງເຖິງ 180 ອົງສາ.

ມັນເປັນໄປໄດ້ທີ່ຈະມີທັງເສັ້ນໂຄ້ງແລະເສັ້ນໂຄ້ງທີ່ກວ້າງຂວາງ, ເຊັ່ນພື້ນຜິວ 2D ຂອງຂອບຂະ ໜາດ 3D.

ນີ້ແມ່ນສິ່ງທີ່ຄົນພື້ນເມືອງເວົ້າໂດຍບໍ່ຄິດຜິດ.

ເບິ່ງ:

http: //web.cs.iastate.edu/~cs577 ...

ເສັ້ນໂຄ້ງ - ຈາກ Wolfram MathWorld


ຕອບ 3:

ຄໍານິຍາມຂອງພື້ນທີ່“ ໂຄ້ງ” ເວລາຂອງຄວາມກ່ຽວຂ້ອງທົ່ວໄປ

ເວລາຫວ່າງຂອງ“ ໂຄ້ງ” ຂອງຄວາມ ສຳ ພັນທົ່ວໄປແມ່ນໂຄ້ງ ໜ້ອຍ ກວ່າການບິດເບືອນ. ການບິດເບືອນແມ່ນວ່າໄລຍະຫ່າງໄດ້ຖືກ ກຳ ນົດໄວ້ແຕກຕ່າງກັນໄປຕາມແຕ່ລະບ່ອນ.

ForexamplePythagorasstheoremisreplacedbyamorecomplicatedtheorem.InthreedimensionalEuclideanspace(thesortofspaceweareaccustomedto),Pythagorasstheoremstatesthat,iftwopointsareseparated,asalongthreeaxesatrightanglestoeachother,bydistancesx,[math]y[/math],and[math]z[/math],thenthetotalseparation,[math]d[/math],isgivenbyFor example Pythagoras’s theorem is replaced by a more complicated theorem. In three-dimensional Euclidean space (the sort of space we are accustomed to), Pythagoras’s theorem states that, if two points are separated, as along three axes at right angles to each other, by distances x, [math]y[/math], and [math]z[/math], then the total separation, [math]d[/math], is given by

d2=x2+y2+z2.d^2=x^2+y^2+z^2.

Ingeneralrelativity,itbecomesmorecomplicated,becauseeachofthetermsx2andsooncanbemultipliedbyacoefficientthatingeneraldiffersfrom[math]1[/math],andthatvariesfromplacetoplace.Also,othertermsoccurontherighthandside,involving[math]x y[/math],[math]y z[/math],andalltheothercombinations,eachmultipliedbyacoefficientthatingeneraldiffersfrom[math]0[/math].Forconvenience,thewholesetofthosecoefficientsiswrappedupinasinglesetofnumberscalledthemetrictensor.In general relativity, it becomes more complicated, because each of the terms x^2 and so on can be multiplied by a coefficient that in general differs from [math]1[/math], and that varies from place to place. Also, other terms occur on the right-hand side, involving [math]x~y[/math], [math]y~z[/math], and all the other combinations, each multiplied by a coefficient that in general differs from [math]0[/math]. For convenience, the whole set of those coefficients is wrapped up in a single set of numbers called the “metric tensor”.

ຜົນກະທົບແມ່ນຄືກັບມີເຈ້ຍເສັ້ນສະແດງປົກກະຕິ, ເຊັ່ນ.

ກັບເຈ້ຍເສັ້ນສະແດງອີກແຜ່ນ ໜຶ່ງ,

ເຄື່ອງວັດແທກຄວາມເລິກພິສູດໄດ້ວ່າເປັນວິທີທີ່ສະດວກໃນການສະແດງການບິດເບືອນດັ່ງທີ່ກ່າວມາຂ້າງເທິງ. ໂດຍສະເພາະ, ມັນເປັນໄປໄດ້ທີ່ຈະໃຫ້ ຄຳ ອະທິບາຍຢ່າງເຕັມທີ່ກ່ຽວກັບການບິດເບືອນດັ່ງກ່າວ. ດ້ວຍເຫດຜົນນີ້, ຂ້າພະເຈົ້າໃຊ້ ຄຳ ວ່າ "ມິຕິເມດເຕີ" ຂ້າງລຸ່ມນີ້ເພື່ອອ້າງເຖິງຊ່ອງຫວ່າງເວລາທີ່ບິດເບືອນຂອງທິດສະດີທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັນ, ເພາະວ່າມັນແຕກຕ່າງຈາກເສັ້ນໂຄ້ງປົກກະຕິ.

ການ ນຳ ໃຊ້ເທັນວັດແທກໃນທິດສະດີການພົວພັນໂດຍລວມແມ່ນການຮຽກຮ້ອງຂອງທິດສະດີຄວາມ ສຳ ພັນທົ່ວໄປທີ່ຕົວຢ່າງການທົດສອບເຄື່ອນຍ້າຍໃນສະ ໜາມ ກາວິທັດໂດຍບໍ່ມີ ກຳ ລັງອື່ນໆປະຕິບັດມັນຕາມເສັ້ນທາງທີ່ສັ້ນທີ່ສຸດໃນເວລາຫວ່າງລະຫວ່າງສອງຈຸດ. ຄຳ ຮຽກຮ້ອງທີ່ຈະເດີນຕາມເສັ້ນທາງທີ່ສັ້ນທີ່ສຸດແມ່ນມີຄວາມສົມເຫດສົມຜົນ (ມີການຄິດໄລ່ບາງຢ່າງ) ກັບ ຄຳ ຖະແຫຼງທີ່ວ່າຮ່າງກາຍເຄື່ອນຍ້າຍໃນເວລາໃນອະວະກາດໃນທິດທາງດຽວກັນ, ຄຳ ນິຍາມຂອງ "ທິດທາງດຽວກັນ" ກຳ ລັງຖືກ ກຳ ນົດໂດຍແຮງດັນມິຕິໃນແຕ່ລະຈຸດ ໃນທາງ.

ແຮງໂນ້ມຖ່ວງບໍ່ໄດ້ຖືກ ກຳ ນົດວ່າເປັນແຮງ. ອີງຕາມກົດ ໝາຍ ການເຄື່ອນໄຫວຂອງ Newton, ຮ່າງກາຍທີ່ບໍ່ມີ ກຳ ລັງເຄື່ອນໄຫວໃນເວລາອະວະກາດຕາມເສັ້ນຊື່. (ນັ້ນບໍ່ແມ່ນວິທີທີ່ລາວວາງມັນໄວ້, ແຕ່ ຄຳ ເວົ້ານີ້ ໝາຍ ຄວາມວ່າມັນເປັນສິ່ງດຽວກັນ.) ເສັ້ນຊື່ທີ່ກົງໄປກົງມາແມ່ນເສັ້ນທາງທີ່ສັ້ນທີ່ສຸດລະຫວ່າງສອງຈຸດໃນເວລາຫວ່າງທີ່ບໍ່ໄດ້ຖືກຄັດເລືອກ. ທິດສະດີທົ່ວໄປກ່ຽວກັບຄວາມກ່ຽວຂ້ອງກັນເຮັດໃຫ້ແນວຄວາມຄິດຂອງ "ເສັ້ນທາງທີ່ສັ້ນທີ່ສຸດ", ສະນັ້ນສິ່ງນີ້ຍັງໃຊ້ກັບເສັ້ນທາງໂຄ້ງທີ່ຮ່າງກາຍຕິດຕາມໃນຂົງເຂດກາວິທັດ.

ຄວາມ ສຳ ພັນກັບເສັ້ນໂຄ້ງປົກກະຕິ

ມີຫລາຍວິທີທີ່ແນວຄວາມຄິດຂອງ "ແຮງດັນເມຕຕາ" ສາມາດພົວພັນກັບແນວຄວາມຄິດຂອງການໂຄ້ງລົງ.

  1. Generalrelativitymaybesaidtoassert(a)thatabodythatkeepsmovingstraightaheadmovesalongacurvedpathor,equivalently,(b)thattheshortestpathbetweentwopointsisingeneralacurvedline.Inthegraphsabove,inthecentralregion,apathcoversmoredistance,asdefinedpertheundistortedgraphpaper,whenitmovesthroughthecentralregion,asisshownbythecoordinatelinesinthecentralregionofthedistortedgraphpaper.Thus,ashortestpath,asdefinedbythedistortedgraphpaper,willtendtodeviatefromastraightlinetopassthroughthecentralarea.Inparticular,acirclecenteredinthegraphpaperistheshortestpathbetweenanytwopointsalongit,asdistanceisdefinedbythedistortedgraphpaper.Thus,thedistortedgraphpaperissomewhatanalogoustothegravitationalfieldaroundamassivebody.Ingeneral,knowingthemetrictensorinanndimensionalspace,itispossibletoconstructashapein[math]n+1[/math]dimensionalspace,suchthatthe[math]n[/math]dimensionalspaceisthesurfaceofthethusconstructedshapein[math]n+1[/math]dimensionalspace.Forexample,knowingthetwodimensionalmetrictensoreverywhereonthesurfaceofadonut,onecouldmathematicallyreconstructthethreedimensionalshapeofthedonut.TheequivalenthappensallthetimeonthesurfaceofoursphericalEarth.AtriangleonEarthssurfacehasinterioranglesthatadduptomorethan180°,andsimilardeviationsfromEuclideangeometryoccur.Idontknowwhetherlandsurveyorsusetheactualmathematicsofthemetrictensorintheircalculations,buteverytimetheysurveyalargepieceofland,theyderivethecurvatureofEarthssurfaceasasideeffectoftheircalculations.Generalrelativitydoesnotingeneralusetheconceptofacurved,higherdimensionalshape,otherthanwhenderivinggeneralsummariestostatethate.g.acertainmodelyieldsanopenorcloseduniverse.General relativity may be said to assert (a) that a body that keeps moving straight ahead moves along a curved path or, equivalently, (b) that the shortest path between two points is in general a curved line. In the graphs above, in the central region, a path covers more distance, as defined per the undistorted graph paper, when it moves through the central region, as is shown by the coordinate lines in the central region of the distorted graph paper. Thus, a “shortest path”, as defined by the distorted graph paper, will tend to deviate from a straight line to pass through the central area.In particular, a circle centered in the graph paper is the shortest path between any two points along it, as distance is defined by the distorted graph paper. Thus, the distorted graph paper is somewhat analogous to the gravitational field around a massive body.In general, knowing the metric tensor in an n-dimensional space, it is possible to construct a shape in [math]n+1[/math]-dimensional space, such that the [math]n[/math]-dimensional space is the surface of the thus-constructed shape in [math]n+1[/math]-dimensional space. For example, knowing the two-dimensional metric tensor everywhere on the surface of a donut, one could mathematically reconstruct the three-dimensional shape of the donut.The equivalent happens all the time on the surface of our spherical Earth. A triangle on Earth’s surface has interior angles that add up to more than 180°, and similar deviations from Euclidean geometry occur. I don’t know whether land surveyors use the actual mathematics of the metric tensor in their calculations, but every time they survey a large piece of land, they derive the curvature of Earth’s surface as a side effect of their calculations.General relativity does not in general use the concept of a curved, higher-dimensional shape, other than when deriving general summaries to state that e.g. a certain model yields an “open” or “closed” universe.

ຕອບ 4:

ຄໍານິຍາມຂອງພື້ນທີ່“ ໂຄ້ງ” ເວລາຂອງຄວາມກ່ຽວຂ້ອງທົ່ວໄປ

ເວລາຫວ່າງຂອງ“ ໂຄ້ງ” ຂອງຄວາມ ສຳ ພັນທົ່ວໄປແມ່ນໂຄ້ງ ໜ້ອຍ ກວ່າການບິດເບືອນ. ການບິດເບືອນແມ່ນວ່າໄລຍະຫ່າງໄດ້ຖືກ ກຳ ນົດໄວ້ແຕກຕ່າງກັນໄປຕາມແຕ່ລະບ່ອນ.

ຕົວຢ່າງ: ທິດສະດີບົດຂອງ Pythagoras ຖືກທົດແທນດ້ວຍທິດສະດີບົດທີ່ສັບສົນຫຼາຍ. ໃນພື້ນທີ່ Euclidean ສາມມິຕິ (ການຈັດລຽງພື້ນທີ່ທີ່ພວກເຮົາມັກເຮັດ), ທິດສະດີທິດສະດີຂອງ Pythagoras ກ່າວວ່າ, ຖ້າສອງຈຸດແຍກກັນ, ຄືກັບສາມແກນຢູ່ມຸມຂວາຫາກັນ, ໂດຍໄລຍະຫ່າງ [ເລກ] x [/ ຄະນິດສາດ], [ເລກຄະນິດສາດ] y [/ ຄະນິດສາດ], ແລະ [ເລກຄະນິດສາດ] z [/ ຄະນິດສາດ], ຫຼັງຈາກນັ້ນການແຍກທັງ ໝົດ, [ເລກຄະນິດສາດ] d [/ ຄະນິດສາດ] ແມ່ນໃຫ້ໂດຍ

[ເລກຄະນິດສາດ] d ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2. [/ ຄະນິດສາດ]

ໃນການພົວພັນກັນໂດຍທົ່ວໄປ, ມັນສັບສົນຫຼາຍ, ເພາະວ່າແຕ່ລະ ຄຳ ສັບ [ເລກຄະນິດ] x ^ 2 [/ ຄະນິດສາດ] ແລະອື່ນໆສາມາດຄູນດ້ວຍຕົວຄູນທີ່ໂດຍທົ່ວໄປແຕກຕ່າງຈາກ [ເລກຄະນິດສາດ 1 [/ ຄະນິດສາດ], ແລະນັ້ນກໍ່ແຕກຕ່າງກັນໄປ ຈາກສະຖານທີ່ກັບສະຖານທີ່. ພ້ອມກັນນັ້ນ, ຄຳ ສັບອື່ນໆທີ່ເກີດຂື້ນຢູ່ເບື້ອງຂວາ, ເຊິ່ງກ່ຽວຂ້ອງກັບ [ເລກຄະນິດສາດ] x ~ y [/ ຄະນິດສາດ], [ເລກຄະນິດສາດ] y ~ z [/ ເລກຄະນິດສາດ], ແລະການປະສົມອື່ນໆທັງ ໝົດ, ແຕ່ລະຕົວຄູນດ້ວຍຕົວຄູນທີ່ທົ່ວໄປແຕກຕ່າງກັນ ຈາກ [ຄະນິດສາດ] 0 [/ ຄະນິດສາດ]. ເພື່ອຄວາມສະດວກສະບາຍ, ຕົວເລກທັງ ໝົດ ຂອງຕົວຄູນເຫຼົ່ານັ້ນຖືກຫຸ້ມດ້ວຍຕົວເລກດຽວທີ່ເອີ້ນວ່າ "ມິຕິແມັດ".

ຜົນກະທົບແມ່ນຄືກັບມີເຈ້ຍເສັ້ນສະແດງປົກກະຕິ, ເຊັ່ນ.

ກັບເຈ້ຍເສັ້ນສະແດງອີກແຜ່ນ ໜຶ່ງ,

ເຄື່ອງວັດແທກຄວາມເລິກພິສູດໄດ້ວ່າເປັນວິທີທີ່ສະດວກໃນການສະແດງການບິດເບືອນດັ່ງທີ່ກ່າວມາຂ້າງເທິງ. ໂດຍສະເພາະ, ມັນເປັນໄປໄດ້ທີ່ຈະໃຫ້ ຄຳ ອະທິບາຍຢ່າງເຕັມທີ່ກ່ຽວກັບການບິດເບືອນດັ່ງກ່າວ. ດ້ວຍເຫດຜົນນີ້, ຂ້າພະເຈົ້າໃຊ້ ຄຳ ວ່າ "ມິຕິເມດເຕີ" ຂ້າງລຸ່ມນີ້ເພື່ອອ້າງເຖິງຊ່ອງຫວ່າງເວລາທີ່ບິດເບືອນຂອງທິດສະດີທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັນ, ເພາະວ່າມັນແຕກຕ່າງຈາກເສັ້ນໂຄ້ງປົກກະຕິ.

ການ ນຳ ໃຊ້ເທັນວັດແທກໃນທິດສະດີການພົວພັນໂດຍລວມແມ່ນການຮຽກຮ້ອງຂອງທິດສະດີຄວາມ ສຳ ພັນທົ່ວໄປທີ່ຕົວຢ່າງການທົດສອບເຄື່ອນຍ້າຍໃນສະ ໜາມ ກາວິທັດໂດຍບໍ່ມີ ກຳ ລັງອື່ນໆປະຕິບັດມັນຕາມເສັ້ນທາງທີ່ສັ້ນທີ່ສຸດໃນເວລາຫວ່າງລະຫວ່າງສອງຈຸດ. ຄຳ ຮຽກຮ້ອງທີ່ຈະເດີນຕາມເສັ້ນທາງທີ່ສັ້ນທີ່ສຸດແມ່ນມີຄວາມສົມເຫດສົມຜົນ (ມີການຄິດໄລ່ບາງຢ່າງ) ກັບ ຄຳ ຖະແຫຼງທີ່ວ່າຮ່າງກາຍເຄື່ອນຍ້າຍໃນເວລາໃນອະວະກາດໃນທິດທາງດຽວກັນ, ຄຳ ນິຍາມຂອງ "ທິດທາງດຽວກັນ" ກຳ ລັງຖືກ ກຳ ນົດໂດຍແຮງດັນມິຕິໃນແຕ່ລະຈຸດ ໃນທາງ.

ແຮງໂນ້ມຖ່ວງບໍ່ໄດ້ຖືກ ກຳ ນົດວ່າເປັນແຮງ. ອີງຕາມກົດ ໝາຍ ການເຄື່ອນໄຫວຂອງ Newton, ຮ່າງກາຍທີ່ບໍ່ມີ ກຳ ລັງເຄື່ອນໄຫວໃນເວລາອະວະກາດຕາມເສັ້ນຊື່. (ນັ້ນບໍ່ແມ່ນວິທີທີ່ລາວວາງມັນໄວ້, ແຕ່ ຄຳ ເວົ້ານີ້ ໝາຍ ຄວາມວ່າມັນເປັນສິ່ງດຽວກັນ.) ເສັ້ນຊື່ທີ່ກົງໄປກົງມາແມ່ນເສັ້ນທາງທີ່ສັ້ນທີ່ສຸດລະຫວ່າງສອງຈຸດໃນເວລາຫວ່າງທີ່ບໍ່ໄດ້ຖືກຄັດເລືອກ. ທິດສະດີທົ່ວໄປກ່ຽວກັບຄວາມກ່ຽວຂ້ອງກັນເຮັດໃຫ້ແນວຄວາມຄິດຂອງ "ເສັ້ນທາງທີ່ສັ້ນທີ່ສຸດ", ສະນັ້ນສິ່ງນີ້ຍັງໃຊ້ກັບເສັ້ນທາງໂຄ້ງທີ່ຮ່າງກາຍຕິດຕາມໃນຂົງເຂດກາວິທັດ.

ຄວາມ ສຳ ພັນກັບເສັ້ນໂຄ້ງປົກກະຕິ

ມີຫລາຍວິທີທີ່ແນວຄວາມຄິດຂອງ "ແຮງດັນເມຕຕາ" ສາມາດພົວພັນກັບແນວຄວາມຄິດຂອງການໂຄ້ງລົງ.

  1. ຄວາມກ່ຽວຂ້ອງທົ່ວໄປອາດຈະເວົ້າເພື່ອຢືນຢັນ (ກ) ວ່າຮ່າງກາຍທີ່ກ້າວໄປຂ້າງ ໜ້າ ຊື່ໆເດີນໄປຕາມເສັ້ນໂຄ້ງຫລືທຽບເທົ່າ, (ຂ) ວ່າເສັ້ນທາງທີ່ສັ້ນທີ່ສຸດລະຫວ່າງສອງຈຸດໂດຍທົ່ວໄປແມ່ນເສັ້ນໂຄ້ງ. ໃນເສັ້ນສະແດງຂ້າງເທິງ, ຢູ່ເຂດພາກກາງ, ເສັ້ນທາງກວມເອົາໄລຍະທາງຫຼາຍຂື້ນ, ຕາມທີ່ໄດ້ ກຳ ນົດໄວ້ໃນເຈ້ຍກາຟິກທີ່ບໍ່ຖືກຄັດເລືອກ, ເມື່ອມັນຍ້າຍຜ່ານເຂດພາກກາງ, ດັ່ງທີ່ສະແດງໂດຍເສັ້ນປະສານງານໃນເຂດພາກກາງຂອງເຈ້ຍກາຟິກທີ່ບິດເບືອນ. ສະນັ້ນ, ເສັ້ນທາງທີ່ສັ້ນທີ່ສຸດຕາມທີ່ ກຳ ນົດໂດຍເຈ້ຍເສັ້ນສະແດງທີ່ມີການບິດເບືອນ, ຈະມີແນວໂນ້ມທີ່ຈະຫັນປ່ຽນຈາກເສັ້ນຊື່ທີ່ຈະຜ່ານເຂດພາກກາງ. ໂດຍສະເພາະ, ວົງກົມທີ່ຕັ້ງຢູ່ໃນເຈ້ຍເສັ້ນສະແດງແມ່ນເສັ້ນທາງທີ່ສັ້ນທີ່ສຸດລະຫວ່າງສອງຈຸດຕາມ ມັນ, ຄືກັບໄລຍະທາງທີ່ ກຳ ນົດໂດຍເຈ້ຍເສັ້ນສະແດງທີ່ບິດເບືອນ. ສະນັ້ນ, ເຈ້ຍກາຟິກທີ່ບິດເບືອນແມ່ນຄ້າຍຄືກັນກັບພາກສະ ໜາມ ທີ່ອ້ອມຮອບຮ່າງກາຍທີ່ມີຮ່າງກາຍໃຫຍ່. ໂດຍທົ່ວໄປ, ການຮູ້ຈັກຕົວເລກໃນຕົວເລກ [ເລກຄະນິດ] n [/ ຄະນິດສາດ], ມີພື້ນທີ່ກວ້າງຂວາງ, ມັນສາມາດສ້າງຮູບຊົງໃນ [ເລກຄະນິດສາດ] n + 1 [/ ເລກຄະນິດສາດ] - ພື້ນທີ່ກວ້າງຂວາງ, ເຊັ່ນວ່າ [ເລກຄະນິດສາດ] n [/ ຄະນິດສາດ] - ພື້ນທີ່ກວ້າງແມ່ນພື້ນຜິວຂອງຮູບຊົງທີ່ໄດ້ຮັບການກໍ່ສ້າງດັ່ງກ່າວໃນ [ເລກຄະນິດສາດ] n + 1 [/ ຄະນິດສາດ] ພື້ນທີ່ກວ້າງ. ຍົກຕົວຢ່າງ, ການຮູ້ຈັກມິຕິດ້ານມິຕິສອງມິຕິ, ຢູ່ທົ່ວທຸກດ້ານໃນພື້ນທີ່ຂອງໂດນັດ, ຄົນ ໜຶ່ງ ສາມາດສ້າງຮູບຊົງ ໃໝ່ ຂອງຮູບຊົງສາມມິຕິທາງດ້ານຄະນິດສາດໄດ້ຢ່າງສົມເຫດສົມຜົນເກີດຂື້ນຕະຫຼອດເວລາເທິງ ໜ້າ ໂລກຂອງໂລກກວ້າງ. ສາມຫຼ່ຽມເທິງພື້ນໂລກມີມຸມພາຍໃນເຊິ່ງເພີ່ມຫຼາຍກ່ວາ 180 °, ແລະຄວາມແຕກຕ່າງທີ່ຄ້າຍຄືກັນຈາກເລຂາຄະນິດຂອງ Euclidean ເກີດຂື້ນ. ຂ້າພະເຈົ້າບໍ່ຮູ້ວ່ານັກ ສຳ ຫຼວດທີ່ດິນ ນຳ ໃຊ້ຄະນິດສາດຕົວຈິງຂອງຕົວເລກແທກໃນການຄິດໄລ່ຂອງພວກເຂົາ, ແຕ່ວ່າທຸກໆຄັ້ງທີ່ພວກເຂົາ ສຳ ຫຼວດເນື້ອທີ່ດິນຂະ ໜາດ ໃຫຍ່, ພວກມັນໄດ້ມາຈາກເສັ້ນໂຄ້ງຂອງພື້ນໂລກເປັນຜົນຂ້າງຄຽງຂອງການຄິດໄລ່ຂອງພວກເຂົາ. ໂດຍທົ່ວໄປໃຊ້ແນວຄວາມຄິດຂອງຮູບຊົງໂຄ້ງ, ຮູບຊົງທີ່ສູງກວ່າ, ເມື່ອທຽບໃສ່ບົດສະຫຼຸບທົ່ວໄປທີ່ກ່າວເຖິງຕົວຢ່າງເຊັ່ນຮູບແບບທີ່ແນ່ນອນເຮັດໃຫ້ຈັກກະວານ“ ເປີດ” ຫຼື“ ປິດ”.